班会网欢迎您!

2018中考数学基础巩固专题复习-函数(成都市)

时间:2018-09-12 15:10:16    浏览数:
本资料为WORD文档,请点击下载地址下载全文下载地址
章 来源班会网课件 的速度从点A出发,沿AB→BC的路径运动,到点C停止.过点P作PQ∥BD,PQ与边AD(或边CD)交于点Q,PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图象如图②所示.当点P运动2.5秒时,PQ的长是(  )

A. B. C. D.
【考点】E7:动点问题的函数图象.
【分析】根据运动速度乘以时间,可得PQ的长,根据线段的和差,可得CP的长,根据勾股定理,可得答案.
【解答】解:点P运动2.5秒时P点运动了5cm,
CP=8﹣5=3cm,
由勾股定理,得
PQ= =3 cm,
故选:B.
例题3:(2017山东枣庄)如图,直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为(  )

A.(﹣3,0)B.(﹣6,0)C.(﹣ ,0)D.(﹣ ,0)
【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征;PA:轴对称﹣最短路线问题.
【分析】(方法一)根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点C、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式,令y=0即可求出x的值,从而得出点P的坐标.
(方法二)根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点C、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点,由此即可得出点P的坐标.
【解答】解:(方法一)作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.

令y= x+4中x=0,则y=4,
∴点B的坐标为(0,4);
令y= x+4中y=0,则 x+4=0,解得:x=﹣6,
∴点A的坐标为(﹣6,0).
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,
∴点C(﹣3,2),点D(0,2).
∵点D′和点D关于x轴对称,
∴点D′的坐标为(0,﹣2).
设直线CD′的解析式为y=kx+b,
∵直线CD′过点C(﹣3,2),D′(0,﹣2),
∴有 ,解得: ,
∴直线CD′的解析式为y=﹣ x﹣2.
令y=﹣ x﹣2中y=0,则0=﹣ x﹣2,解得:x=﹣ ,
∴点P的坐标为(﹣ ,0).
故选C.
(方法二)连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.
令y= x+4中x=0,则y=4,
∴点B的坐标为(0,4);
令y= x+4中y=0,则 x+4=0,解得:x=﹣6,
∴点A的坐标为(﹣6,0).
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,
∴点C(﹣3,2),点D(0,2),CD∥x轴,
∵点D′和点D关于x轴对称,
∴点D′的坐标为(0,﹣2),点O为线段DD′的中点.
又∵OP∥CD,
∴点P为线段CD′的中点,
∴点P的坐标为(﹣ ,0).
故选C.

例题4:(2017甘肃张掖)已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y= 的图象交于第一象限内的P( ,8),Q(4,m)两点,与x轴交于A点.
(1)分别求出这两个函数的表达式;
(2)写出点P关于原点的对称点P'的坐标;
(3)求∠P'AO的正弦值.

【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题;KQ:勾股定理;T7:解直角三角形.
【分析】(1)根据P( ,8),可得反比例函数解析式,根据P( ,8),Q(4,1)两点可得一次函数解析式;
(2)根据中心对称的性质,可得点P关于原点的对称点P'的坐标;
(3)过点P′作P′D⊥x轴,垂足为D,构造直角三角形,依据P'D以及AP'的长,即可得到∠P'AO的正弦值.
【解答】 解:(1)∵点P在反比例函数的图象上,
∴把点P( ,8)代入 可得:k2=4,
∴反比例函数的表达式为 ,
∴Q (4,1).
把P( ,8),Q (4,1)分别代入y=k1x+b中,
得 ,
解得 ,
∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9;
(2)点P关于原点的对称点P'的坐标为( ,﹣8);
(3)过点P′作P′D⊥x轴,垂足为D.
∵P′( ,﹣8),
∴OD= ,P′D=8,
∵点A在y=﹣2x+9的图象上,
∴点A( ,0),即OA= ,
∴DA=5,
∴P′A= ,
∴sin∠P′AD= ,
∴sin∠P′AO= .

例题5:(2017浙江义乌)某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).
(1)如图1,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图2,现要求在图中所示位置留2m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.

【考点】HE:二次函数的应用.
【分析】(1)根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽,由矩形的面积=长×宽计算,再根据二次函数的性质分析即可;
(2)根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽,由矩形的面积=长×宽计算,再根据二次函数的性质分析即可.
【解答】解:(1)∵y=x• =﹣ (x﹣25)2+ ,
∴当x=25时,占地面积最大,
即饲养室长x为25m时,占地面积y最大;
(2)∵y=x• =﹣ (x﹣26)2+338,
∴当x=26时,占地面积最大,
即饲养室长x为26m时,占地面积y最大;
∵26﹣25=1≠2,
∴小敏的说法不正确.
例题6:(2017浙江衢州)“五•一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)设租车时间为x小时,租用甲公司的车所需费用为y1元,租用乙公司的车所需费用为y2元,分别求出y1,y2关于x的函数表达式;
(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算.

【考点】FH:一次函数的应用;FA:待定系数法求一次函数解析式.
【分析】(1)根据函数图象中的信息,分别运用待定系数法,求得y1,y2关于x的函数表达式即可;
(2)当y1=y2时,15x+80=30x,当y1>y2时,15x+80>30x,当y1<y2时,15x+80>30x,分求得x的取值范围即可得出方案.
【解答】解:(1)设y1=k1x+80,
把点(1,95)代入,可得
95=k1+80,
解得k1=15,
∴y1=15x+80(x≥0);
设y2=k2x,
把(1,30)代入,可得
30=k2,即k2=30,
∴y2=30x(x≥0);

(2)当y1=y2时,15x+80=30x,
解得x= ;
当y1>y2时,15x+80>30x,
解得x< ;
当y1<y2时,15x+80>30x,
解得x> ;
∴当租车时间为 小时,选择甲乙公司一样合算;当租车时间小于 小时,选择乙公司合算;当租车时间大于 小时,选择甲公司合算.
例题7:(2017山东枣庄)如图,抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;
(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由B、C的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式,再求其顶点D即可;
(2)过F作FG⊥x轴于点G,可设出F点坐标,利用△FBG∽△BDE,由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程,可求得F点的坐标;
(3)由于M、N两点关于对称轴对称,可知点P为对称轴与x轴的交点,点Q在对称轴上,可设出Q点的坐标,则可表示出M的坐标,代入抛物线解析式可求得Q点的坐标.
【解答】解:
(1)把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得 ,解得 ,
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+2x+6,
∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ (x﹣2)2+8,
∴D(2,8);
(2)如图1,过F作FG⊥x轴于点G,

设F(x,﹣ x2+2x+6),则FG=|﹣ x2+2x+6|,
∵∠FBA=∠BDE,∠FGB=∠BED=90°,
∴△FBG∽△BDE,
∴ = ,
∵B(6,0),D(2,8),
∴E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,
∴BG=6﹣x,
∴ = ,
当点F在x轴上方时,有 = ,解得x=﹣1或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣1, );
当点F在x轴下方时,有 =﹣ ,解得x=﹣3或x=6(舍去),此时F点的坐标为(﹣3,﹣ );
综上可知F点的坐标为(﹣1, )或(﹣3,﹣ );
(3)如图2,设对称轴MN、PQ交于点O′,

∵点M、N关于抛物线对称轴对称,且四边形MPNQ为正方形,
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点,点Q在抛物线的对称轴上,
设Q(2,2n),则M坐标为(2﹣n,n),
∵点M在抛物线y=﹣ x2+2x+6的图象上,
∴n=﹣ (2﹣n)2+2(2﹣n)+6,解得n=﹣1+ 或n=﹣1﹣ ,
∴满足条件的点Q有两个,其坐标分别为(2,﹣2+2 )或(2,﹣2﹣2 ).
例题8:(2017甘肃张掖)如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(﹣2,0),点C(8,0),与y轴交于点A.
(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;
(2)连接AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求N点的坐标;
(3)连接OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.

【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)由B、C的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)可设N(n,0),则可用n表示出△ABN的面积,由NM∥AC,可求得 ,则可用n表示出△AMN的面积,再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值,即可求得N点的坐标;
(3)由N点坐标可求得M点为AB的中点,由直角三角形的性质可得OM= AB,在Rt△AOB和Rt△AOC中,可分别求得AB和AC的长,可求得AB与AC的关系,从而可得到OM和AC的数量关系.
【解答】解:
(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得 ,解得 ,
∴二次函数的表达式为y=﹣ x2+ x+4;
(2)设点N的坐标为(n,0)(﹣2<n<8),
则BN=n+2,CN=8﹣n.
∵B(﹣2,0),C(8,0),
∴BC=10,
在y=﹣ x2+ x+4中令x=0,可解得y=4,
∴点A(0,4),OA=4,
∴S△ABN= BN•OA= (n+2)×4=2(n+2),
∵MN∥AC,
∴ ,
∴ = = ,
∴ ,
∵﹣ <0,
∴当n=3时,即N(3,0)时,△AMN的面积最大;

(3)当N(3,0)时,N为BC边中点,
∵MN∥AC,
∴M为AB边中点,
∴OM= AB,
∵AB= = =2 ,AC= = =4 ,
∴AB= AC,
∴OM= AC.
【达标检测】
一、选择题
1. (2017张家界)在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m(m≠0)与y= (m≠0)的图象可能是(  )
A. B. C. D.
【考点】G2:反比例函数的图象;F3:一次函数的图象.
【分析】在各选项中,先利用反比例函数图象确定m的符号,再利用m的符号对一次函数图象的位置进行判断,从而判断该选项是否正确.
【解答】解:A、由反比例函数图象得m<0,则一次函数图象经过第二、三、四象限,所以A选项错误;
B、由反比例函数图象得m>0,则一次函数图象经过第一、二、三象限,所以B选项错误;
C、由反比例函数图象得m<0,则一次函数图象经过第二、三、四象限,所以C选项错误;
D、由反比例函数图象得m<0,则一次函数图象经过第一、二、三象限,所以D选项正确.
故选D.
2. (2017浙江义乌)均匀地向一个容器注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线),这个容器的形状可以是(  )

A. B. C. D.
【考点】E6:函数的图象.
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度,反映了水面上升速度的快慢,再观察容器的粗细,作出判断.
【解答】解:注水量一定,函数图象的走势是稍陡,平,陡;那么速度就相应的变化,跟所给容器的粗细有关.则相应的排列顺序就为D.
故选:D.
3. (2017山东枣庄)如图,反比例函数y= 的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为 4 .

【考点】G5:反比例函数系数k的几何意义.
【分析】可设D点坐标为(x,y),则可表示出B点坐标,从而可表示出矩形OABC的面积,利用xy=2可求得答案.
【解答】解:
设D(x,y),
∵反比例函数y= 的图象经过点D,
∴xy=2,
∵D为AB的中点,
∴B(x,2y),
∴OA=x,OC=2y,
∴S矩形OABC=OA•OC=x•2y=2xy=2×2=4,
故答案为:4.
4. (2017浙江义乌)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使这个点与点C重合,则该抛物线的函数表达式变为(  )
A.y=x2+8x+14B.y=x2﹣8x+14C.y=x2+4x+3D.y=x2﹣4x+3
【考点】H6:二次函数图象与几何变换.
【分析】先由对称计算出C点的坐标,再根据平移规律求出新抛物线的解析式即可解题.
【解答】解:∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,
∴矩形ABCD关于坐标原点对称,
∵A点C点是对角线上的两个点,
∴A点、C点关于坐标原点对称,
∴C点坐标为(﹣2,﹣1);
∴抛物线由A点平移至C点,向左平移了4个单位,向下平移了2个单位;
∵抛物线经过A点时,函数表达式为y=x2,
∴抛物线经过C点时,函数表达式为y=(x+4)2﹣2=x2+8x+14,
故选A.
5. (2017浙江衢州)如图,在直角坐标系中,点A在函数y= (x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AB的垂直平分线与y轴交于点C,与函数y= (x>0)的图象交于点D,连结AC,CB,BD,DA,则四边形ACBD的面积等于(  )

A.2B.2 C.4D.4
【考点】G5:反比例函数系数k的几何意义;KG:线段垂直平分线的性质.
【分析】设A(a, ),可求出B(2a, ),由于对角线垂直,计算对角线长积的一半即可.
【解答】解:设A(a, ),可求出B(2a, ),
∵AC⊥BD,
∴S四边形ABCD= AC•BD= ×2a× =4,
故选C.
二、填空题:
6. (2017湖南岳阳)函数y= 中自变量x的取值范围是 x≠7 .
【分析】根据分母不为零,即可解决问题.
【解答】解:函数y= 中自变量x的范围是x≠7.
故答案为x≠7
【点评】本题考查函数自变量的取值范围,知道分母不能为零是解题的关键.
7. (2017湖南株洲)
如图所示是一块含30°,60°,90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数y1= (x>0)的图象上,顶点B在函数y2= (x>0)的图象上,∠ABO=30°,则 = ﹣  .

【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】设AC=a,则OA=2a,OC= a,根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标,写出A和B两点的坐标,代入解析式求出k1和k2的值,相比即可.
【解答】解:如图,Rt△AOB中,∠B=30°,∠AOB=90°,
∴∠OAC=60°,
∵AB⊥OC,
∴∠ACO=90°,
∴∠AOC=30°,
设AC=a,则OA=2a,OC= a,
∴A( a,a),
∵A在函数y1= (x>0)的图象上,
∴k1= a•a= ,
Rt△BOC中,OB=2OC=2 a,
∴BC= =3a,
∴B( a,﹣3a),
∵B在函数y2= (x>0)的图象上,
∴k2=﹣3a a=﹣3 ,
∴ =﹣ ;
故答案为:﹣ .

8. (2017湖北咸宁)小慧根据学习函数的经验,对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究.下面是小慧的探究过程,请补充完整:
(1)函数y=|x﹣1|的自变量x的取值范围是 任意实数 ;
(2)列表,找出y与x的几组对应值.
x…﹣10123…
y…b1012…
其中,b= 2 ;
(3)在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;
(4)写出该函数的一条性质: 函数的最小值为0(答案不唯一) .

【考点】F5:一次函数的性质;F3:一次函数的图象.
【分析】(1)根据一次函数的性质即可得出结论;
(2)把x=﹣1代入函数解析式,求出y的值即可;
(3)在坐标系内描出各点,再顺次连接即可;
(4)根据函数图象即可得出结论.
【解答】解:(1)∵x无论为何值,函数均有意义,
∴x为任意实数.
故答案为:任意实数;
(2)∵当x=﹣1时,y=|﹣1﹣1|=2,
∴b=2.
故答案为:2;
(3)如图所示;
(4)由函数图象可知,函数的最小值为0.
故答案为:函数的最小值为0(答案不唯一).

9. (2017•x疆)如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为 3 s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是 18 cm2.

【考点】H7:二次函数的最值;LE:正方形的性质.
【分析】设运动时间为t(0≤t≤6),则AE=t,AH=6﹣t,由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积,即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式,配方后即可得出结论.
【解答】解:设运动时间为t(0≤t≤6),则AE=t,AH=6﹣t,
根据题意得:S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4× t(6﹣t)=2t2﹣12t+36=2(t﹣3)2+18,
∴当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18.
故答案为:3;18
【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积,通过分割图形求面积法找出S四边形EFGH关于t的函数关系式是解题的关键.
10. (2017湖南株洲)
如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(﹣1,0)与点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,﹣2),小强得到以下结论:①0<a<2;②﹣1<b<0;③c=﹣1;④当|a|=|b|时x2> ﹣1;以上结论中正确结论的序号为 ①④ .

【考点】HA:抛物线与x轴的交点;H4:二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据抛物线与y轴交于点B(0,﹣2),可得c=﹣2,依此判断③;由抛物线图象与x轴交于点A(﹣1,0),可得a﹣b﹣2=0,依此判断①②;由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y= ,可得x2=2,比较大小即可判断④;从而求解.
【解答】解:由A(﹣1,0),B(0,﹣2),得b=a﹣2,
∵开口向上,
∴a>0;
∵对称轴在y轴右侧,
∴﹣ >0,
∴﹣ >0,
∴a﹣2<0,
∴a<2;
∴0<a<2;
∴①正确;
∵抛物线与y轴交于点B(0,﹣2),
∴c=﹣2,故③错误;
∵抛物线图象与x轴交于点A(﹣1,0),
∴a﹣b﹣2=0,无法得到0<a<2;②﹣1<b<0,故①②错误;
∵|a|=|b|,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧,
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y= ,
∴x2=2> ﹣1,故④正确.
故答案为:①④.
三、解答题
11. (2017浙江义乌)某市规定了每月用水18立方米以内(含18立方米)和用水18立方米以上两种不同的收费标准,该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x(立方米)的函数,其图象如图所示.
(1)若某月用水量为18立方米,则应交水费多少元?
(2)求当x>18时,y关于x的函数表达式,若小敏家某月交水费81元,则这个月用水量为多少立方米?

【考点】FH:一次函数的应用.
【分析】(1)根据函数图象上点的纵坐标,可得答案;
(2)根据待定系数法,可得函数解析式,根据自变量与函数值得对应关系,可得答案.
【解答】解:(1)由纵坐标看出,某月用水量为18立方米,则应交水费18元;

(2)由81元>45元,得用水量超过18立方米,
设函数解析式为y=kx+b (x≥18),
∵直线经过点(18,45)(28,75),
∴ ,
解得 ,
∴函数的解析式为y=3x﹣9 (x≥18),
当y=81时,3x﹣9=81,
解得x=30,
答:这个月用水量为30立方米.
12. (2017湖南岳阳)如图,直线y=x+b与双曲线y= (k为常数,k≠0)在第一象限内交于点A(1,2),且与x轴、y轴分别交于B,C两点.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)点P在x轴上,且△BCP的面积等于2,求P点的坐标.

【分析】(1)把A(1,2)代入双曲线以及直线y=x+b,分别可得k,b的值;
(2)先根据直线解析式得到BO=CO=1,再根据△BCP的面积等于2,即可得到P的坐标.
【解答】解:(1)把A(1,2)代入双曲线y= ,可得k=2,
∴双曲线的解析式为y= ;
把A(1,2)代入直线y=x+b,可得b=1,
∴直线的解析式为y=x+1;

(2)设P点的坐标为(x,0),
在y=x+1中,令y=0,则x=﹣1;令x=0,则y=1,
∴B(﹣1,0),C(0,1),即BO=1=CO,
∵△BCP的面积等于2,
∴ BP×CO=2,即 |x﹣(﹣1)|×1=2,
解得x=3或﹣5,
∴P点的坐标为(3,0)或(﹣5,0).

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题,解题时注意:反比例函数与一次函数交点的坐标同时满足两个函数解析式.
13. (2017湖南株洲)
如图所示,Rt△PAB的直角顶点P(3,4)在函数y= (x>0)的图象上,顶点A、B在函数y= (x>0,0<t<k)的图象上,PA∥x轴,连接OP,OA,记△OPA的面积为S△OPA,△PAB的面积为S△PAB,设ax和in分别表示函数ax+a2﹣a,其中a为实数,求Tmin.

【考点】G5:反比例函数系数k的几何意义;G6:反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】(1)由点P的坐标表示出点A、点B的坐标,从而得S△PAB= •PA•PB= (4﹣ )(3﹣ ),再根据反比例系数k的几何意义知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣ t,由ax= ,代入T=ax+a2﹣a配方即可得出答案.
【解答】解:(1)∵点P(3,4),
∴在y= 中,当x=3时,y= ,即点A(3, ),
当y=4时,x= ,即点B( ,4),
则S△PAB= •PA•PB= (4﹣ )(3﹣ ),
如图,延长PA交x轴于点C,

则PC⊥x轴,
又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC= ×3×4﹣ t=6﹣ t,
∴ax= ,
则T=ax+a2﹣a=a2﹣a+ =(a﹣ )2+ ,
∴当a= 时,Tmin= .
14. (2017张家界)已知抛物线c1的顶点为A(﹣1,4),与y轴的交点为D(0,3).
(1)求c1的解析式;
(2)若直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,求m的值;
(3)若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2,平行于x轴的直线记作l2:y=n.试结合图形回答:当n为何值时,l2与c1和c2共有:①两个交点;②三个交点;③四个交点;
(4)若c2与x轴正半轴交点记作B,试在x轴上求点P,使△PAB为等腰三角形.

【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)设抛物线c1的解析式为y=a(x+1)2+4,把D(0,3)代入y=a(x+1)2+4即可得到结论;
(2)解方程组得到x2+3x+m﹣3=0,由于直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,于是得到△=9﹣4m+12=0,即可得到结论;
(3)根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为:y=﹣x2+2x+3,根据图象即可刚刚结论;
(4)求得B(3,0),得到OB=3,根据勾股定理得到AB= =4 ,①当AP=AB,②当AB=BP=4 时,③当AP=PB时,点P在AB的垂直平分线上,于是得到结论.
【解答】解:(1)∵抛物线c1的顶点为A(﹣1,4),
∴设抛物线c1的解析式为y=a(x+1)2+4,
把D(0,3)代入y=a(x+1)2+4得3=a+4,
∴a=﹣1,
∴抛物线c1的解析式为:y=﹣(x+1)2+4,即y=﹣x2﹣2x+3;

(2)解 得x2+3x+m﹣3=0,
∵直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,
∴△=9﹣4m+12=0,
∴m= ;
(3)∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2,
∴抛物线c2的顶点坐标为(1,4),与y轴的交点为(0,3),
∴抛物线c2的解析式为:y=﹣x2+2x+3,
∴①当直线l2过抛物线c1的顶点(﹣1,4)和抛物线记作c2的顶点(1,4)时,即n=4时,l2与c1和c2共有两个交点;
②当直线l2过D(0,3)时,即n=3时,l2与c1和c2共有三个交点;
③当3<n<4或n>3时,l2与c1和c2共有四个交点;

(4)如图,∵若c2与x轴正半轴交于B,
∴B(3,0),
∴OB=3,
∴AB= =4 ,
①当AP=AB=4 时,PB=8,
∴P1(﹣5,0),
②当AB=BP=4 时,
P2(3﹣4 ,0)或P3(3+4 ,0),
③当AP=PB时,点P在AB的垂直平分线上,
∴PA=PB=4,
∴P4(﹣1,0),
综上所述,点P的坐标为(﹣5,0)或(3﹣4 ,0)或(3+4 ,0)或(﹣1,0)时,△PAB为等腰三角形.

15. (2017湖南岳阳)如图,抛物线y= x2+bx+c经过点B(3,0),C(0,﹣2),直线l:y=﹣ x﹣ 交y轴于点E,且与抛物线交于A,D两点,P为抛物线上一动点(不与A,D重合).
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线l下方时,过点P作PM∥x轴交l于点M,PN∥y轴交l于点N,求PM+PN的最大值.
(3)设F为直线l上的点,以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,求出点F的坐标;若不能,请说明理由.

【分析】(1)把B(3,0),C(0,﹣2)代入y= x2+bx+c解方程组即可得到结论;
(2)设P(m, m2﹣ m﹣2),得到N(m,﹣ m﹣ ),M(﹣m2+2m+2, m2﹣ m﹣2),根据二次函数的性质即可得到结论;
(3)求得E(0,﹣ ),得到CE= ,设P(m, m2﹣ m﹣2),①以CE为边,根据CE=PF,列方程得到m=1,m=0(舍去),②以CE为对角线,连接PF交CE于G,CG=GE,PG=FG,得到G(0,﹣ ),设P(m, m2﹣ m﹣2),则F(﹣m, m﹣ ),列方程得到此方程无实数根,于是得到结论.
【解答】解:(1)把B(3,0),C(0,﹣2)代入y= x2+bx+c得, ,

∴抛物线的解析式为:y= x2﹣ x﹣2;
(2)设P(m, m2﹣ m﹣2),
∵PM∥x轴,PN∥y轴,M,N在直线AD上,
∴N(m,﹣ m﹣ ),M(﹣m2+2m+2, m2﹣ m﹣2),
∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2=﹣ m2+ m+ =﹣ (m﹣ )2+ ,
∴当m= 时,PM+PN的最大值是 ;
(3)能,
理由:∵y=﹣ x﹣ 交y轴于点E,
∴E(0,﹣ ),
∴CE= ,
设P(m, m2﹣ m﹣2),
∵以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形,
①以CE为边,∴CE∥PF,CE=PF,
∴F(m,﹣ m﹣ ),
∴﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2= ,
∴m=1,m=0(舍去),
②以CE为对角线,连接PF交CE于G,
∴CG=GE,PG=FG,
∴G(0,﹣ ),
设P(m, m2﹣ m﹣2),则F(﹣m, m﹣ ),
∴ ×( m2﹣ m﹣2+ m﹣ )=﹣ ,
∵△<0,
∴此方程无实数根,
综上所述,当m=1时,以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形.

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式,平行四边形的性质,二次函数的性质,正确的理解题意是解题的关键.


章 来源班会网课件

相关内容

    无相关信息

共有条评论

发布

热门点击

最近更新